中法偏微分方程控制秋季学校
中法应用数学研究网络框架下，四川大学将于2026年10月12日-24日在承办中法偏微分方程控制秋季学校，其中第一天即10月12日为报到时间。四位授课专家均为偏微分方程控制领域国际知名学者，将讲授该领域最新前沿知识，欢迎相关方向研究生或年轻教师参加，授课语言为英语。
一、 学术委员会
Jean-Michel Coron院士（Sorbonne Université, France）
李大潜院士（复旦大学）
Katharina Schratz教授（Sorbonne Université, France）
Emmanuel Trélat院士（Sorbonne Université, France）
张平院士（中国科学院数学与系统科学研究院）
张旭教授（四川大学）
二、 组织委员会
付晓玉教授（四川大学）
吕琦教授（四川大学）
王天啸教授（四川大学）
张旭教授（四川大学）
三、 课程设置
课程1：非线性能控性与Lie括号
授课教师：Karine Beauchard教授（École normale supérieure de Rennes, France）
摘要：本课程将介绍非线性控制系统在平衡点附近的局部可控性。一种自然的策略（“线性化检验”）是：先证明线性化系统的可控性，再运用反函数定理得出结论。当线性化系统不可控时，就需要研究高阶项。在第一章中，我们提出幂级数展开方法来处理此类情形。我们还考察了非线性项对局部可控性结果的影响：即其对时间以及用于度量控制的范数的敏感性。此外，我们还将研究 Hölder 代价估计。在第二章中，我们介绍 Krener 的一个基本结果：局部可控性蕴含在向量场的迭代李括号中（这些括号在平衡点处取值）。在第三章中，我们阐述与可达性性质（这是局部可控性的必要条件）等价的李代数秩条件。我们确定了几种框架，在此类框架下该条件也是局部可控性的充分条件，并给出在量子控制中的应用。
参考文献：
[1] F. Albertini and D. D’Alessandro. Notions of Controllability for Quantum Mechanical Systems. Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control, vol. 2. Orlando, FL, USA, 2001, 1589–1594.
[2] J.-M. Coron. Control and nonlinearity, vol. 136. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2007.
[3] V. Jurdjevic and H. Sussmann. Controllability of nonlinear systems. J. Differential Equations. 12 (1972), 95–116.
[4] V. Jurdjevic and H. Sussmann. Control Systems on Lie Groups. J. Differential Equations. 12 (1972), 313–329.
[5] A. Krener. On the equivalence of control systems and the linearization of nonlinear systems. SIAM J. Control. 11 (1973), 670–676.
课程2：随机偏微分方程控制简明导引
授课教师：吕琦教授（四川大学）
摘要：本课程将简要介绍随机偏微分方程系统的控制理论。我们将主要关注这类系统的能控性和最优控制问题。为避免技术上的困难，我们将聚焦于一维随机抛物方程和随机双曲方程的控制问题。我们将看到，相应的随机控制问题的提法和解决这些问题的工具可能与确定性/有限维系统的相应问题有很大不同。更重要的是，必须发展新的工具，比如我们之前工作中引入的随机转置方法，来解决这一领域的一些困难问题。
参考文献：
[1] Q. Lü and X. Zhang. Mathematical Control Theory for Stochastic Partial Differential Equations. Probab. Theory Stoch. Model., vol. 101. Springer, Cham, 2021.
[2] Q. Lü and X. Zhang. Control theory for stochastic distributed parameter systems, an engineering perspective. Annu. Rev. Control. 51 (2021), 268–330.
[3] Q. Lü and X. Zhang. A concise introduction to control theory for stochastic partial differential equations. Math. Control Relat. Fields. 12 (2022), 847–954.
课程3：串联耦合偏微分系统的能控性，基于波-热系统与热-热系统的能观测不等式
授课教师：Emmanuel Trélat院士（Sorbonne Université, France）
摘要：本课程将介绍用于一维串联耦合偏微分系统能控性的谱方法与泛函分析方法。在回顾线性控制系统的抽象半群框架、边界控制算子的容许性、能控性与能观测性的对偶关系以及Hilbert唯一性方法之后，课程将重点讨论适用于耦合偏微分系统的矩方法与能观性不等式。我们使用的核心工具是Ingham–Müntz型不等式，这类不等式将双曲型的非调和Fourier机制与抛物型的Müntz–Szász机制结合在一起。拟介绍的主要案例是波–热与热–波串联系统的能控性。课程将阐明：如何通过Riesz基分解、对偶谱分析以及与耦合方式相关的模态系数，在加权Hilbert空间中实现精确能控性，并由双曲分量给出一个精细的最小时间。最后一部分将讨论抛物–抛物串联系统特别是热–热系统，分块矩方法以及若干公开问题。课程的重点将放在能控性质与能达空间上。
参考文献：
[1] A. Benabdallah, F. Boyer and M. Morancey. A block moment method to handle spectral condensation phenomenon in parabolic control problems. Ann. H. Lebesgue. 3 (2020), 717–793.
[2] F. Boyer and M. Morancey. Analysis of non scalar control problems for parabolic systems by the block moment method. C. R. Math. Acad. Sci. Paris. 361 (2023), 1191–1248.
[3] V. Komornik and G. Tenenbaum. An Ingham-Müntz type theorem and simultaneous observation problems. Evol. Equ. Control Theory. 4 (2015), 297–314.
[4] H. Lhachemi, C. Prieur and E. Trélat. Boundary control of heat-heat cascades. arXiv:2506.10497, 2025.
[5] H. Lhachemi, C. Prieur and E. Trélat. Controllability of wave-heat and heat-wave cascades. arXiv:2601.18212, 2026.
[6] J.-L. Lions. Contrȏlabilité Exacte, Perturbations et Stabilisation de Systèmes Distribués. Masson, Paris, 1988.
[7] E. Trélat. Control in Finite and Infinite Dimension. SpringerBriefs on PDEs and Data Science, Springer, Singapore, 2024.
[8] M. Tucsnak and G. Weiss. Observation and Control for Operator Semi-Groups. Birkhäuser, Basel, 2009.
[9] X. Zhang and E. Zuazua. Polynomial decay and control of a 1-d hyperbolic-parabolic coupled system. J. Differential Equations. 204 (2004), 380–438.
课程4：时间最优控制理论
授课教师：汪更生教授（河套数学与交叉学科研究院（深圳））
摘要：在本课程中，我们将系统介绍发展方程的时间最优控制理论。课程内容将从常微分方程逐步过渡到偏微分方程，遵循由基础到进阶的逻辑顺序。具体课程内容包括：时间最优控制的存在性分析；三类最大值原理的核心内容；几个典型最优控制问题之间的等价性证明；以及时间最优控制的若干关键性质，包括bang-bang性质和动态性质。
参考文献：
[1] H.O. Fattorini. Infinite Dimensional Linear Control Systems: The Time Optimal and Norm Optmal Problems. North-Holland Mathematics Studies, Vol. 201, North-Holland/Elserier, Amsterdam, 2005.
[2] G. Wang, L. Wang, Y. Xu and Y. Zhang. Time Optimal Control of Evolution Equations. Progress in Nonlinear Differnetial Equations and Their Aopplications. Vol. 92, Birkhäuser /Springer, Cham, 2018.
四、 费用
将为学员免除注册费用，提供免费住宿和一定额度的餐饮补贴。学员的往返交通费用原则上自理。
五、 报名与培训时间安排
培训时间：2026年10月12日-24日
报名时间：2026年6月20日－7月30日（报名时间截止不再接受报名）
报名方式：请有意向参加培训的学员扫描下方二维码进行在线报名。
六、 联系人
郭恬老师，电话：15515888183 ；邮箱：gt15515888183@163.com