有限神经元方法
报告专家：许进超 教授（阿卜杜拉国王科技大学（KAUST））
报告时间：3月25日（周三）9:00-10:00
报告地点：四川大学数学学院西303
报告摘要：
本报告提出一个统一框架，将有限元方法（FEM）与神经网络在函数逼近及偏微分方程（PDE）数值求解中的作用加以联系。在该框架下，神经网络提供了一类丰富的试探函数，其逼近能力可与有限元空间及高阶多项式空间相媲美。通过 Sobolev 空间与 Barron 空间对其逼近性质进行刻画，并由此得到严格的收敛性结果。
我们提出有限神经元方法（FNM），该方法同时包含非线性神经网络逼近及其线性化形式。特别地，通过固定网络中的非线性参数，仅优化线性系数，可得到一个凸优化问题，从而建立与经典数值方法之间的直接联系，并实现与有限元方法的系统比较。
我们的分析表明，神经网络方法与有限元方法在本质上均受到函数空间度量熵的约束，因此神经网络并不能从根本上突破维数灾难。然而，相较于传统有限元方法，神经网络能够更有效地利用目标函数的高阶正则性，从而在高维问题中展现出更优的逼近性能。
上述结果为将神经网络方法融入偏微分方程数值计算提供了理论基础，并指明了若干具有潜力的未来研究方向。
专家简介：
许进超教授现任阿卜杜拉国王科技大学（KAUST）教授，KAUST科学计算与机器学习实验室主任。曾任美国宾州州立大学数学系 Verne M. Willaman 终身教授、宾州州立大学–北京大学计算数学与应用联合研究中心主任。
他的主要研究兴趣包括科学计算数值方法的设计、分析和应用，特别是有限元和多网格方法，以及机器学习，包括深度神经网络和大语言模型。
他曾荣获首届冯康科学计算奖（1995）、德国洪堡资深科学家奖（2005）、国家杰出青年科学基金（B类，2006），他受邀在第六届国际工业与应用数学大会（ICIAM 2007）作特邀报告、在2010年世界数学家大会作45分钟邀请报告。他是美国工业与应用数学学会会士（2011）、美国数学学会会士（2012）、美国科学促进会会士（2019）、欧洲科学院院士（2022），以及欧洲人文与自然科学院（Academia Europaea）院士（2023）。
邀请人：谢小平、陈刚
